1.1.1.2. Egymintás u-próba bal-oldali ellenhipotézissel

A 8.2. példát a z.test() és a zsum.test() függvénnyel is megoldjuk. A példában \(\alpha=0.1\) elsőfajú hiba szerepel, így a szerkesztett konfidencia-intervallum megbízhatósági szintjét 90%-ra állítjuk be. A végrehajtott próba ellenhipotézise bal-oldali: \(H_1:\mu < \mu_0\).

Kutatók véleménye szerint, az atlétacipők átlagos ára kisebb, mint 80 dollár. Katalógusokből 36 véletlenszerűen kiválasztott cipőre a következő árakat kaptuk (dollárban): 60, 70, 75, 55, 80, 55, 50, 40, 80, 70, 50, 95, 120, 90, 75, 85, 80, 60, 110, 65, 80, 85, 85, 45, 75, 60, 90, 90, 60, 95, 110, 85, 45, 90, 70, 70. Vizsgáljuk meg a kutatók állítását 10%-os szignifikancia szinten! Tegyük fel, hogy a populációban 19.2 dollár a szórás.
Forrás: (Bluman, 2009, pp. Example 8-4)

A fenti példa alapján a bal-oldali ellenhipotézis: \(H_1:\mu<80\). Ennek megfelelően a z.test() függvényben az alternative="less" argumentumot kell megadnunk. A próbák végrehajtása a TeachingDemos::z.test() és BSDA::z.test() függvényekkel:

# Egymintás u-próba bal-oldali ellenhipotézissel
x <- c(60, 70, 75, 55, 80, 55, 50, 40, 80, 70, 50, 95, 120, 90, 75, 85, 80, 
    60, 110, 65, 80, 85, 85, 45, 75, 60, 90, 90, 60, 95, 110, 85, 45, 90, 70, 
    70)
library(TeachingDemos)
TeachingDemos::z.test(x, mu = 80, stdev = 19.2, alternative = "less", conf.level = 0.9)

    One Sample z-test

data:  x
z = -1.562, n = 36.0, Std. Dev. = 19.2, Std. Dev. of the sample
mean = 3.2, p-value = 0.05909
alternative hypothesis: true mean is less than 80
90 percent confidence interval:
 -Inf 79.1
sample estimates:
mean of x 
       75 

library(BSDA)
BSDA::z.test(x, mu = 80, sigma.x = 19.2, alternative = "less", conf.level = 0.9)

    One-sample z-Test

data:  x
z = -1.562, p-value = 0.05909
alternative hypothesis: true mean is less than 80
90 percent confidence interval:
   NA 79.1
sample estimates:
mean of x 
       75 

A fentiekkel megegyező eredményt kapunk, ha a zsum.test() függvénnyel oldjuk meg a 8.2. példát, de ehhez összesített adatokra van szükség: a mintaátlagra (mean.x=75) és a mintaelemszámra (n.x=36).

# Egymintás u-próba bal-oldali ellenhipotézissel összesített adatok alapján
library(BSDA)
zsum.test(mean.x = 75, sigma.x = 19.2, n.x = 36, mu = 80, alternative = "less", 
    conf.level = 0.9)

    One-sample z-Test

data:  Summarized x
z = -1.562, p-value = 0.05909
alternative hypothesis: true mean is less than 80
90 percent confidence interval:
   NA 79.1
sample estimates:
mean of x 
       75 

Az próbák eredményéből leolvasható, hogy 10%-os szignifikanciaszint figyelembe vételével szignifikáns eredményt kaptunk, azaz elfogadhatjuk azt az állítást, hogy az atléták cipőjének ára kisebb, mint 80 dollár.

Az 8.2. példában az egyoldali ellenhipotézis egyik formáját, a bal-oldali változatot mutattuk be. Nézzünk példát a jobb-oldali esetre is.