2.2.6. Kérdések és feladatok a varianciára vonatkozó egymintás próbára

A próba kétoldali azaz \(H_0: \sigma^2 = 0.644\), \(H_1: \sigma^2 \neq 0.644\) és \(\alpha=0.05\).

Megoldás p-érték alapján

Határozzuk meg a próbastatisztika értékét!

n <- 20  # a mintaelemszám
v <- 1  # a minta varianciája
sigmasq <- 0.644  # a populációbeli variancia 
(khi.2 <- ((n - 1) * v/sigmasq))  # khi-négyzet próbastatisztika értéke

[1] 29.5

Adjuk meg az ennél szélsőségesebb értékek valószínűségét a nullhipotézis igaz volta mellett, azaz a p-értéket!

(1 - pchisq(q = khi.2, df = 20 - 1)) * 2

[1] 0.1169

A nullhipotézist megtartjuk, mert p=0.1169. Tehát ezt a mintát még magyarázhatja a véletlen.

Megoldás kritikus tartomány (elfogadási tartomány) alapján

Határozzuk meg a próbastatisztika értékét!

n <- 20  # a mintaelemszám
v <- 1  # a minta varianciája
sigmasq <- 0.644  # a populációbeli variancia 
(khi.2 <- ((n - 1) * v/sigmasq))  # khi-négyzet próbastatisztika értéke

[1] 29.5

Határozzuk meg a kritikus értékeket!

alpha <- 0.05
# a kritikus tartomány határai
c(qchisq(alpha/2, df = 20 - 1), qchisq(1 - alpha/2, df = 20 - 1))

[1]  8.907 32.852

A próbastatisztika értéke (29.5) beleesik az elfogadási tartományba (8.907, 32.852), így megtartjuk a nullhipotézist.

Megoldás konfidencia-intervallummal

Használjuk fel a derstat csomag ci.var() függvényét!

library(derstat)
ci.var(x = 0.644, sigma = 1, n = 20)

  Confidence interval for variance 

        95% Confidence level (two.sided) 
          1 n 
      0.000 Chi-square right 
      0.000 Chi-square left 
         NA Variance 
         NA - CI upper 
         NA - CI lower 
         NA Standard deviation 
         NA - CI upper 
         NA - CI lower 

Az elméleti 1 szórás beleesik a 95%-os konfidencia-intervallumba, így megtartjuk a nullhipotézist.

Megoldás grafikusan

Határozzuk meg a próbastatisztika értékét!

n <- 20  # a mintaelemszám
v <- 1  # a minta varianciája
sigmasq <- 0.644  # a populációbeli variancia 
(khi.2 <- ((n - 1) * v/sigmasq))  # khi-négyzet próbastatisztika értéke

[1] 29.5

Rajzoljuk meg a kritikus tartományt és a próbastatisztika értékét!

library(HH)
chisq.setup(df = 20 - 1)
chisq.curve(df = 20 - 1, alpha = c(0.05/2, 0.05/2), col = "blue")
chisq.observed(chisq.obs = khi.2, df = 20 - 1)