6.4. Hasonlósági értékek távolsággá transzformálása

A hasonlóságokat, vagy skaláris szorzatokat távolsággá alakíthatjuk a koszinusz-tétel egyszerű alkalmazásának a segítségével. A koszinusz-tétel a következőképpen hangzik: Egy nem derékszögű háromszögben  $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta$, ahol a,b,c a háromszög oldalai, θ pedig az a és a b oldal által bezárt szög.

Tekintsük CB-t és CA-t vektornak, θ pedig legyen az általuk bezárt szög. Ekkor a tételt a következőképpen írhatjuk fel:

        $=l_a^2+l_b^2-2\times$ (a és b skaláris szorzata)

        $=a_{ii}+a_{jj}-2a_{ij}$  

A koszinusz-tétel speciális esete, amikor sztenderdizált változókkal dolgozunk, melyek egységnyi szórásúak. Ebben az esetben megmutatható, hogy a korrelációk és a távolságok monoton kapcsolatban állnak egymással.

A koszinusz-tétel  $d_{ij}^2=l_i^2+l_j^2-2l_i{l}_j\cos {\theta }_{ij}$ .

Mivel                  $r_{ij}=\cos {\theta }_{ij}$ ,

így                    $d_{ij}^2=2-2r_{ij}$

és                     $d_{ij}=\sqrt{(2-2r_{ij)}}=\sqrt{2(1-r_{ij})}$ .

Ezen képlet alapján pedig megállapítható, hogy a korreláció és a távolság mérőszáma egymással egy csökkenő (mivel ${\text{1-r}}_{\text{ij}}$ határozza meg a távolsági együtthatót) és nemlineáris kapcsolatban van (a négyzetgyök miatt). A távolságok és a korrelációk között ez alapján egy monoton kapcsolat áll fenn.

A hasonlósági adatokból kiinduló többdimenziós skálázást a 6.5.2, 6.5.3 és a 6.5.4 probléma szemlélteti.