5.5 Távolságmérő eljárások

A klaszteranalízis esetében a klaszterek kialakításának módszere mellett fontos dolog az elemezni kívánt objektumok közötti távolság vagy hasonlóság meghatározása. Az R-statisztikai program alapvetően az objektumok közötti távolságokat tudja kezelni. Éppen ezért most az objektumok közötti távolságok mérésének néhány módszerét tekintjük át. A képletekben az $x_{ik}$ az egyik, az $x_{jk}$ a másik objektumot jelöli, melyek között a d távolságot számítjuk ki.

• Az euklideszi távolság

  Az euklideszi az egyik legismertebb és legelterjedtebb távolságmérő eljárás. Alapelve a Pitagorasz-tételen alapul:

  $d_{ij}=\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^p{(x_{ik}-x_{jk})}^2}}$

• Az abszolút eltérés

  Más néven Manhattan vagy „city block” (háztömb) távolságnak is nevezik. Hasonlít az euklideszi távolságra, ám a négyzet, illetve a négyzetgyök helyett itt a távolságok abszolút értékét vesszük.

  $d_{ij}={\displaystyle \sum _{k=1}^p\left|x_{ij}-x_{jk}\right|}$

• A Pearson-távolság

  Ez a távolságmérő módszer is az euklideszi távolságból indul ki, ám az egyes objektumok közötti távolságokat sztenderdizáljuk is.

  $d_{ij}=\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^p{(x_{ik}-x_{jk})}^2/s_k^2}}$

• A négyzetes euklideszi távolság

  Ahogyan a neve is mutatja, ez is az euklideszi távolságon alapul, annak a négyzete.

  $d_{ij}^2={{\displaystyle \sum _{k=1}^p\left(x_{ik}-x_{jk}\right)}}^2$

• A négyzetes Pearson-távolság

  A Pearson-távolság négyzete.

  $d_{ij}^2={{\displaystyle \sum _{k=1}^p\left(x_{ik}-x_{jk}\right)}}^2/s_k^2$

Az egyes objektumok közötti távolságokat rendszerint egy távolságmátrixban reprezentáljuk, ahogyan azt például az 5.3. R-eredményen is láthattuk. A hasonlóság és a távolság egymással ellentétes fogalmak. Ebből a kapcsolatból adódik, hogy a hasonlóság és a távolság mérőszáma egymásba átalakítható. Ennek képlete a következő:

A képletben a $h_{ij}$ jelöli az i-edik és a j-edik objektum közötti hasonlóságot, míg a $d_{ij}$ a távolságot, a $d_{\max }$ pedig a távolságmátrix legnagyobb elemét jelöli.