4.5 Kanonikus diszkriminancia függvények

Általában hasznos dolog, ha $X_{1}, X_{2} ... X_{p}$ változóknak fel tudjuk írni egy olyan függvényét, amely valamilyen eljárással a lehető legjobban tudja szétválasztani az m csoportot. A legegyszerűbb megközelítés, ha a változók lineáris kombinációinak előállításával próbáljuk megközelíteni a problémát:

Z = a_{1} X_{1} + a_{2} X_{2} + ... + a_{p} X_{p}

A Z függvény akkor tudja a csoportokat jól elkülöníteni, ha az egyes csoportok átlagai egymástól jelentős mértékben eltérnek, ám a csoporton belül viszonylag konstansak az átlagok. Ezért az $a_{1}, a_{2} ... a_{p}$ együtthatók meghatározásának egyik módszere, hogy maximalizáljuk az egy-szempontos variancia analízisben szereplő F-arányt. Így ha összesen N személy van az összes csoportban, a Z értékekre vonatkozó variancia analízis a 4.3 táblázat szerint alakul.

Variancia forrása	Szabadsági fok	Négyzetek átlaga	F-arány
Csoportok között	m-1	$M_{B}$	$M_{B} {/M}_{w}$
Csoporton belül	N-m	$M_{w}$
	N-1

4.3. táblázat.

Mindezek után a csoportokat legmegfelelőbben szétválasztó diszkriminancia-függvényt úgy határozhatjuk meg, mint az a lineáris kombináció, amely esetén az $M_{B} {/M}_{w}$ képlettel leírt F-arány a lehető legnagyobb. Ezt az elvet elsőként Fisher írta le.

Ha ezt a megközelítést használjuk, akkor kiderülhet, hogy több lineáris kombinációt is meg lehet határozni, amely képes a csoportok szétválasztására. Általában számuk p és (m-1) közül a kevesebb, legyen például s. Ezeket kanonikus diszkriminációs függvények hívjuk. Az első függvény

Z_{1} = a_{11} X_{1} + a_{12} X_{2} + ... + a_{1 p} X_{p}

adja az egy-szempontos variancia analízis F (csoportokon belüli és csoportok közötti) arányának lehető legnagyobb értékét. Ha egynél több függvény van, akkor a második függvény, vagyis

Z_{2} = a_{21} X_{1} + a_{22} X_{2} + ... + a_{2 p} X_{p}

az egy-szempontos variancia analízis F arányának a lehető legnagyobb értékét adja, azzal a feltétellel, hogy $Z_{1}$ és $Z_{2}$ között csoporton belül nincs korreláció. A további függvényeket is ugyanígy határozzuk meg.

Vagyis az i-edik kanonikus diszkriminancia függvény

Z_{i} = a_{i 1} X_{1} + a_{i 2} X_{2} + ... + a_{i p} X_{p}

az a lineáris kombináció, amely esetén a variancia analízis F arányának értéke maximális, azzal a feltétellel, hogy $Z_{i}$ és $Z_{1}, Z_{2} ... Z_{i-1}$ között csoporton belül nincs korreláció.

A kanonikus diszkriminancia függvény együtthatóinak meghatározásakor egy sajátérték problémával találjuk magunkat szembe. Ennek részletei a 4.8.2 mellékletben találhatóak meg.

A $Z_{1}, Z_{2} ... Z_{s}$ kanonikus diszkriminancia függvények az eredeti változó lineáris kombinációiként keletkeznek oly módon, hogy $Z_{1}$ a lehető legnagyobb mértékben mutatja a csoportok közötti különbséget; $Z_{2}$ a lehető legnagyobb mértékben mutatja a csoportok közötti különbségek azon aspektusát, amelyet $Z_{1}$ nem foglal magában; $Z_{3}$ a lehető legnagyobb mértékben mutatja a csoportok közötti különbségek azon aspektusát, amelyet $Z_{2}$ nem foglal magában, és így tovább. Mindezzel a cél az, hogy az első néhány függvénnyel magyarázni tudjuk a legfontosabb csoportok közötti különbségeket.

Münnich Á., Nagy Á., Abari K. (2006). Többváltozós statisztika pszichológus hallgatók számára. v1.1.