Processing math: 100%

4.8.2 melléklet: A kanonikus diszkriminancia függvény együtthatóinak meghatározása

Ahogyan a 4.4 fejezetben már leírtuk, az i-edik kanonikus diszkriminancia függvény

$Z_{i} = a_{i 1} X_{1} + a_{i 2} X_{2} + ... + a_{i p} X_{p}$

az a lineáris kombináció, amely esetén a variancia analízis F arányának értéke maximális, azzal a feltétellel, hogy $Z_{i}$ és $Z_{1}, Z_{2} ... Z_{i-1}$ között csoporton belül nincs korreláció. Kérdés, hogyan találjuk meg az egyenletben szereplő $a_{1}, a_{2} ... a_{p}$ együtthatókat.

Az együtthatók meghatározásakor egy sajátérték problémát kell megoldanunk. Meg kell határozni a négyzetösszegek és a keresztszorzatok mintán belüli mátrixát, azaz W-t. Ennek kiszámítási módja a következő:

$w_{r c} = \sum_{j = 1}^{m} \sum_{i = 1}^{n_{j}} (x_{i j r} - {\bar{x}}_{j r}) (x_{i j c} - {\bar{x}}_{j c})$ .

Ugyanakkor a négyzetösszegek és a keresztszorzatok teljes mintára kiterjedő mátrixát (T) is ki kell számítani a következő egyenlet segítségével

$t_{r c} = \sum_{j = 1}^{m} \sum_{i = 1}^{n_{j}} (x_{i j r} - {\bar{x}}_{r}) (x_{i j c} - {\bar{x}}_{c})$ .

A fenti két egyenletben $x_{ijk}$ jelöli az $X_{k}$ változó i-edik személyhez és j-edik mintához tartozó elemét, ${\bar{x}}_{j k}$ jelöli az $X_{k}$ ugyanahhoz a mintához tartozó átlagát és ${\bar{x}}_{k}$ jelöli az $X_{k}$ összes adathoz tartozó átlagát.

A W és a T mátrix segítségével meghatározhatjuk a B csoportok közötti mátrixot is:

B = T - W

Következő lépésként meg kell találnunk a $W^{-1} B$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait. Ha $λ_{1} > λ_{2} > ... > λ_{s}$ a sajátértékek, akkor $λ_{i}$ a csoportok közötti és a csoporton belüli négyzetösszegek aránya a $Z_{i}$ i-edik lineáris kombinációs esetén, míg a hozzátartozó sajátvektor elemei ${a^{'}}_{i} = (a_{i 1}, a_{i 2},..., a_{i p})$ a $Z_{i}$ együtthatói.

4.1 és a 4.6. forráskódot felhasználva

kanonikus<-diszkr$scaling
print(kanonikus, digits=3)

4.32. R-forráskód

           LD1
figyelem 0.758
monoton  0.631

4.32. R-eredmény.

Münnich Á., Nagy Á., Abari K. (2006). Többváltozós statisztika pszichológus hallgatók számára. v1.1.