4.8 Mellékletek
  4.8.1 melléklet: A Mahalanobis-féle távolság

A Mahalanobis-féle távolság olyan eljárás, amely a változók közötti korrelációt használja fel:

ahol ${\text{v}}^{\text{rs}}$ a p változóból álló kovariancia mátrix inverze r-edik sorának és s-edik oszlopának az eleme. Ugyanezt a képletet kvadratikus formában is fel lehet írni a következőképpen:

ahol

az i-edik populáció átlagainak a vektora és a V kovariancia mátrix. Ezt a mérőszámot csak úgy lehet kiszámítani, ha a minden populáció kovariancia mátrixa egyforma.

A Mahalanobis-féle távolságot gyakran használják, amikor egy többváltozós megfigyelésnek a populáció (amelyből a megfigyelés származik) középpontjától való távolságát akarják meghatározni. Ha $x_1,x_2\mathrm{...}{x}_p$ a személy $X_1,X_2\mathrm{...}{X}_p$ változóbeli értékei, és ${\mu }_1,{\mu }_2\mathrm{...}{\mu }_p$ a hozzájuk tartozó populációátlagok, akkor

ahol  $x^{\prime }=(x_1,x_2\mathrm{,...,}{x}_p)$  és  ${\mu }^{\prime }=({\mu }_1,{\mu }_2\mathrm{,...}{\mu }_p)$. A V most is a populáció kovariancia mátrixát jelöli, és ${\text{v}}^{\text{rs}}$ a ${\text{V}}^{\text{-1}}$ r-edik sorának és s-edik oszlopának az eleme.

A ${\text{D}}^{\text{2}}$ értéket úgy lehet értelmezni, mint az x megfigyelés reziduálisa. A „reziduális” itt egy olyan mérőszám, amely megmutatja, hogy az x megfigyelés milyen távol esik az összes érték eloszlásának a közepétől (ebben az eloszlásban az összes vizsgált változót belevesszük). Egy fontos és hasznos következmény, hogy ha a vizsgált populáció normál eloszlást mutat, akkor a ${\text{D}}^{\text{2}}$ értékei egy p szabadsági fokú khi-négyzet eloszlást fognak követni. A szignifikánsan nagy ${\text{D}}^{\text{2}}$ érték azt jelenti, hogy az érintett megfigyelés (a) valódi, ám valószínűtlen adat, vagy (b) hogy az adatfelvételbe valami hiba csúszott. Ez alapján szükség lenne ellenőrizni, hogy a megfigyelés helyes-e és nincs-e benne semmi hiba.

A 4.3. egyenletben a valódi értékek helyett a populációs becsült átlaga, varianciája és kovarianciája is szerepelhet. Ekkor a 4.1. és a 4.2. egyenletben a V kovariancia mátrix helyett a mintákból származó összesített becslés szerepel. Pontosabban fogalmazva, tegyük fel, hogy van m mintánk, és az i-edik minta nagysága ${\text{n}}_{\text{i}}$, kovariancia mátrixa pedig ${\text{C}}_{\text{i}}$ . Ekkor

a közös kovariancia mátrix összesített becslése. A ${\text{C}}_{\text{i}}$ egymintás kovariancia mátrixnak ${\text{n}}_{\text{i}}\text{-1}$ szabadsági foka van, míg a C kovariancia mátrixnak  ${\displaystyle \sum (n_i-1)}$ .

A Mahalanobis-féle távolságot az R is ki tudja számítani, ahogyan azt a 4.31. R-eredményen láthatjuk.

    1     2     3     4     5     6     7     8     9    10 
2.013 0.613 1.537 4.939 1.244 2.786 0.787 1.363 1.263 1.453