3.4.1 Faktorsúlyok kiszámítása

A faktorsúlyok kiszámításának egyik módja, hogy elvégzünk egy főkomponens-analízist és csak az első m főkomponenst vesszük figyelembe, ezek lesznek a faktorok. Az így kapott faktorok nem korrelálnak egymással és így a specifikus faktorokkal sem.

Ha $F_{1}, F_{2},... F_{m}$ az előzetes faktorok, akkor ezek lineáris kombinációit a következőképpen lehet kiszámolni

\begin{array}{l} F_{1}^{'} = d_{11} F_{1} + d_{12} F_{2} + ... + d_{1 m} F_{m} \\ F_{2}^{'} = d_{21} F_{1} + d_{22} F_{2} + ... + d_{2 m} F_{m} \\ . \\ . \\ . \\ F_{m}^{'} = d_{m 1} F_{1} + d_{m 2} F_{2} + ... + d_{m m} F_{m} \end{array}

(3.6. egyenlet)

Ezek egymással nem korrelálnak és jól „magyarázzák” az adatokat.

Általában a faktorok számát (m) a számításkor inputként adjuk meg, de alapvetően az adatok természete határozza meg. Ha főkomponens-analízist használunk egy előzetes eredmények meghatározásához, egy durva „hüvelykujjszabály” az, hogy m értékét úgy választjuk meg, hogy egyenlő legyen a tesztpontszámok korrelációs mátrixából kiszámított egynél nagyobb sajátértékek számával. A logika itt is ugyanaz, mint a főkomponens-analízis esetében: az egynél kisebb sajátértékkel rendelkező faktorok kevesebbet „magyaráznak” az adatok varianciájából, mint az eredeti tesztpontszámok. Általánosságban az m növelése a változók kommunalitásának növekedését eredményezi. Jóllehet, a kommunalitások nem változnak a faktor-rotáció során.

Ezek után nézzünk egy konkrét példát a 3.1. táblázat adatai alapján. Először vigyük be a táblázat adatait a 3.1. R-forráskóddal.

d<-data.frame(v1=c(2,5,4,7,3,5,4,7,2,3), v2=c(3,5,4,7,4,5,6,4,2,3), v3=c(2,4,3,7,4,5,6,4,2,3), v4=c(5,2,4,7,2,3,5,7,4,1), v5=c(4,1,4,7,2,3,5,6,4,1), v6=c(4,7,4,1,7,5,3,1,4,7))
print(d)

3.1. R-forráskód

    v1 v2 v3 v4 v5 v6
1   2  3  2  5  4  4
2   5  5  4  2  1  7
3   4  4  3  4  4  4
4   7  7  7  7  7  1
5   3  4  4  2  2  7
6   5  5  5  3  3  5
7   4  6  6  5  5  3
8   7  4  4  7  6  1
9   2  2  2  4  4  4
10  3  3  3  1  1  7

3.1. R-eredmény.

A 3.1. táblázat adatai megegyeznek a 3.1. R-eredmény adataival. Mivel a faktoranalízis is a korrelációs mátrixból indul ki - a főkomponens-analízishez hasonlóan -, így elsőként az adatok korrelációs mátrixát érdemes megvizsgálni (3.2. R-forráskód).

cor<-cor(d)
print(cor, digits=3)

3.2. R-forráskód

       v1     v2     v3     v4     v5     v6
v1  1.000  0.713  0.713  0.537  0.508 -0.558
v2  0.713  1.000  0.956  0.362  0.405 -0.358
v3  0.713  0.956  1.000  0.364  0.442 -0.391
v4  0.537  0.362  0.364  1.000  0.972 -0.980
v5  0.508  0.405  0.442  0.972  1.000 -0.983
v6 -0.558 -0.358 -0.391 -0.980 -0.983  1.000

3.2. R-eredmény.

A 3.2. R-eredményen láthatjuk, hogy az első három változó (v1-v3) viszonylag szorosabb kapcsolatban van egymással, hiszen a mátrixban szereplő korrelációs értékek elég magasak: a v1 és v2 közötti korreláció értéke 0,713, v1 és v3 között 0,713, míg v2 és v3 között 0,956. Hasonlóan erős kapcsolatot figyelhetünk meg v4-v6 változók estében is: v4 és v45 változók közötti korreláció értéke 0,972, v4 és v6 között -0,98, míg v5 és v6 között -0,983.

A korrelációs mátrix értékei azt sugallják, hogy két faktort azonosíthatunk. Az első faktort az első három változó (vagyis az állapot-szorongás itemei) alkotják, míg a második faktort a második három változó, azaz a vonás-szorongás itemei adják. A következő lépésben faktoranalízis segítségével teszteljük, hogy helyes-e a megérzésünk (3.3. R-forráskód). Először a forgatás előtti faktorokat vizsgáljuk meg.

FA<-factanal(d, factors=2, rotation="none")
FA

3.3. R-forráskód

 Call:
factanal(x = d, factors = 2, rotation = "none")

Uniquenesses:
   v1    v2    v3    v4    v5    v6 
0.408 0.081 0.005 0.030 0.022 0.009 

Loadings:
   Factor1 Factor2
v1  0.763   0.102 
v2  0.830   0.479 
v3  0.871   0.486 
v4  0.765  -0.620 
v5  0.817  -0.558 
v6 -0.788   0.609 

               Factor1 Factor2
SS loadings      3.904   1.541
Proportion Var   0.651   0.257
Cumulative Var   0.651   0.908

Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.
The chi square statistic is 5.27 on 4 degrees of freedom.
The p-value is 0.261

3.3. R-eredmény.

A 3.3. R-eredményen láthatjuk a forgatás előtti faktorok adatait. Elsőként az egyes változók egyedi hatását, az egyedi fakorokat láthatjuk a „uniquenesses” címszó alatt. A „loadings” címszóval a faktorsúlyokat jelölik. A forgatás nélküli faktorok esetében több olyan változó van, amely mindkét faktorral erős kapcsolatban van. Ilyen például a v6 változó, amely faktorsúlya az első faktornál -0,788, a második faktornál pedig 0,609. Ezáltal a vizsgált látens struktúra kevésbé áttekinthető.

A faktoranalízis modelljének végtelen számú alternatív megoldása van, és ez vezet a faktoranalízis második lépéséhez, amelyet faktor-rotációnak, vagy faktorforgatásnak hívnak.

Münnich Á., Nagy Á., Abari K. (2006). Többváltozós statisztika pszichológus hallgatók számára. v1.1.