3.3.2 Matematikai modell

A faktoranalízis célja, hogy a vizsgált változók közötti korrelációk elemzésével feltárjuk a háttérben húzódó látens struktúrát, és egy lineáris kombináció segítségével ezeket a korrelációkat minél jobban vissza tudjuk adni.

A faktoranalízis alapjainak kidolgozása Charles Spearman nevéhez fűződik. Spearman a különböző tesztpontszámok közötti korrelációt vizsgálta, és észrevette, hogy a megfigyelt korrelációk nagy része jól magyarázható egy egyszerű modellel. Megfigyelései szerint egyes általa vizsgált korrelációs mátrixokban bármely két sorban lévő korrelációs értékek aránya körülbelül mindig ugyanakkora. Spearman ezt az összefüggést a következő modellel magyarázta:

ahol $X_{\mathrm{i}}$ az i-edik sztenderdizált pontszám (0 átlaggal és 1 szórással),

       $a_{\mathrm{i}}$ egy konstans,

       F egy „faktor” érték, melynek átlaga 0, szórása pedig 1

       $e_{\mathrm{i}}$ az $X_{\mathrm{i}}$ -hez tartozó érték, amely specifikusan az i-edik tesztre jellemző.

Spearman bebizonyította, hogy egy korrelációs mátrix sorai között fennálló konstans arány a fenti feltételekből következik, így ez egy lehetséges modellje az adatoknak.

A konstans korrelációs arányokon kívül ebből az is következik, hogy az $X_{\mathrm{i}}$ varianciája a következőképpen alakul:

Ugyanis $a_{\mathrm{i}}$ egy konstans, F és $e_{\mathrm{i}}$ egymástól függetlenek, és F varianciája feltétel szerint egységnyi. Ám   $\mathrm{var}(X_i)$  szintén egységnyi, így

Ebből következik, hogy az $a_{\mathrm{i}}$ konstans, melyet faktorsúlynak hívnak, négyzete az $X_{\mathrm{i}}$ faktor által magyarázott varianciájának az aránya.

Mindezekre építve Spearman megfogalmazta a képességvizsgálatok kétfaktoros modelljét: minden teszt eredménye két részből épül fel, egyik rész minden tesztben közös („általános intelligencia”), másik rész pedig specifikusan az adott tesztre jellemző. Később ezt az elméletet úgy módosította, hogy minden teszteredmény több közös faktor és egy adott tesztre jellemző faktor eredménye. Ez adja meg az általános faktoranalízis modelljét, amely a következőképpen néz ki:

ahol $X_{\mathrm{i}}$ az i-edik teszt pontszáma (0 átlaggal és egységnyi varianciával),

     $a_{i1},a_{i2}\mathrm{,...}{a}_{im}$ az i-edik teszt faktorsúlyai,

     ${\text{F}}_{\text{1}}{\text{, F}}_{\text{2}}\text{, }\mathrm{...}{\text{ F}}_{\text{m}}$ m darab korrelálatlan közös faktor (0 átlaggal és egységnyi varianciával),

     $e_{\mathrm{i}}$ specifikusan az i-edik tesztre jellemző faktor, amely egyetlen közös faktorral sem korrelál, átlaga 0.

Ebből a modellből következik, hogy

ahol az  $a_{i1}^2+a_{i2}^2+\mathrm{...}+a_{im}^2$-et az $X_{\mathrm{i}}$ kommunalitásának hívják (varianciájának az a része, amelyeket a közös faktorok magyaráznak), míg ${\text{var(e}}_{\text{i}}\text{)}$-t az $X_{\mathrm{i}}$ specifikus hatásának hívják (varianciájának az a része, amely független a közös faktoroktól). Továbbá azt is megállapíthatjuk, hogy az $X_{\mathrm{i}}$ és az $X_{\mathrm{j}}$ közötti korreláció

Vagyis két tesztpontszám csak akkor korrelál erősen egymással, ha azonos faktorokban vannak magas faktorsúlyaik. Továbbá $-1\le a_{ij}\le +1$, mivel a kommunalitások értéke nem haladhatja meg az 1-et.