2.3.3 Sajátértékek és sajátvektorok kiszámítása

A főkomponens-analízis során kapott sajátértékek egyenlők a kapcsolódó főkomponens által magyarázott varianciával (${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \mathrm{...}\ge {\lambda }_p\ge 0$). Mivel a főkomponens-analízisben a legtöbbször sztenderdizálják a változókat, így azok varianciája 1. Ebből következik, hogy minden olyan főkomponens, amely sajátértéke 1-nél nagyobb, az eredeti változóknál nagyobb magyarázóerővel bír. Ezért általánosan használt szabály a főkomponensek számának meghatározásához, hogy azokat a főkomponenseket tartjuk meg, melyek sajátértéke 1-nél nagyobb.

A sajátvektorok tulajdonképpen súlyozások, melyek segítségével az eredeti adatokból megkaphatjuk a főkomponensértékeket. A főkomponens súlyokkal kapcsolatban fontos tudni, hogy vannak olyan statisztikai könyvek, illetve programok, amelyek nem a sajátvektorokat, hanem az úgynevezett komponens mátrixot, nevezik főkomponens súlyoknak.

A 2.5. R-forráskód és R-eredmény azt mutatja, hogyan kaphatjuk meg a sajátértékeket és a sajátvektorokat az R program segítségével.

$values
[1] 7.5469 0.4215 0.0740 0.0687

$vectors
      [,1]   [,2]   [,3]   [,4]
[1,] 0.573 -0.134 -0.216  0.779
[2,] 0.361  0.656 -0.584 -0.315
[3,] 0.525 -0.653 -0.123 -0.532
[4,] 0.517  0.354  0.773 -0.104

A 2.5. R-eredményen a „values” utal a sajátértékekre. Láthatjuk, hogy az első főkomponens sajátértéke 7,55 kerekítve, míg a második főkomponensé már csak 0,42. Ez alapján valószínű, hogy csak az első főkomponenst fogjuk megtartani, de ez már a következő, utolsó lépés feladata lesz.

A „vectors” a sajátvektorok komponenseit tartalmazza. Ezek segítségével lehet kiszámolni az egyes főkomponensbeli értékeket, ahogyan azt a következő lépésben tesszük. Fontos tudni, hogy az R-program normalizált sajátvektorértékeket jelenít meg, azaz az egyes sajátvektorokhoz tartozó értékek négyzetösszege 1 (például a 2.5. R-eredmény sajátvektorának első komponense esetében: ${\mathrm{0,573}}^2+{\mathrm{0,361}}^2+{\mathrm{0,525}}^2+{\mathrm{0,517}}^2=1$).