1.7.3 melléklet. A korrelációs együttható és a regressziós együttható kapcsolata.

A korrelációs együttható képlete

r = \frac{N \sum X Y - (\sum X) (\sum Y)}{\sqrt{[N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}] [N \sum Y^{2} - {(\sum Y)}^{2}]}}

(1.56. egyenlet)

Ha a képlet nevezőjében szereplő szorzatot tényezőkre bontjuk, valamint a számlálót és a nevezőt is megszorozzuk $\sqrt{N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}}$ -nel, akkor a következőt kapjuk (1.57. egyenlet):

r = \frac{[N \sum X Y - (\sum X) (\sum Y)]}{\sqrt{N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2} \sqrt{N \sum Y^{2} - {(\sum Y)}^{2}}}} * \frac{\sqrt{N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}}}{\sqrt{N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}}}

(1.57. egyenlet)

ami egyszerűsítve a következőképpen alakul

r = (\frac{[N \sum X Y - (\sum X) (\sum Y)]}{[N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}]}) (\frac{\sqrt{N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}}}{\sqrt{N \sum Y^{2} - {(\sum Y)}^{2}}})

(1.58. egyenlet)

Továbbá felidézve, hogy $b_{1} = \frac{\bar{X Y} - \bar{X} \bar{Y}}{\bar{X^{2}} - {\bar{X}}^{2}}$ , ami más jelölésekkel $b_{1} = \frac{N \sum X Y - (\sum X) (\sum Y)}{N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}}$ , valamint mivel

\frac{σ_{X}}{σ_{Y}} = \frac{\sqrt{\frac{[N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}]}{N (N - 1)}}}{\sqrt{\frac{[N \sum Y^{2} - {(\sum Y)}^{2}]}{N (N - 1)}}} = \frac{\sqrt{N \sum X^{2} - {(\sum X)}^{2}}}{\sqrt{N \sum Y^{2} - {(\sum Y)}^{2}}}

(1.59. egyenlet)

Ha pedig behelyettesítünk, akkor $r = b_{1} \frac{σ_{X}}{σ_{Y}}$ , átrendezve pedig $b_{1} = \frac{σ_{Y}}{σ_{X}} r$ .

Münnich Á., Nagy Á., Abari K. (2006). Többváltozós statisztika pszichológus hallgatók számára. v1.1.