1.5 Szegmentált regresszió-számítás

A szegmentált regressziós eljárást általában akkor használjuk, ha

• egy folytonos függő és egy folytonos független változónk van;
• tudjuk vagy feltételezzük, hogy a függő és a független változó közti kapcsolat karakterisztikája megváltozik, amikor a független változó egy bizonyos értéknél nagyobb értéket vesz fel.

Ezt a határértéket vagy szegmentáló értéket meghatározhatjuk valamilyen szakmai vagy logikai szempont szerint vagy éppen tapasztalat alapján. Tehát itt is, csakúgy, mint a kategorikus változóval végzett regressziónál, a minta két (vagy több) részre osztódik. Azonban a csoportosító elem nem egy külső - mondjuk úgy: újabb dimenziót képviselő - változó, mint előző példánkban a „nem”, sokkal inkább a független változó adataiban rejlő „töréspont”. Az eljárásnak akkor van értelme, ha a szegmentáló értékről van elképzelésünk, mivel ez az érték meghatározó szerepet játszik a regressziós egyenletben. A szegmentáló értékről információt adhat az adatok pontdiagramja. Ha a két változó közti összefüggés karakterisztikája többször változik jelentősen, több szegmentáló k érték lehet, melyek a független változót kettőnél több szegmensre osztják. Amikor szegmentált regresszió-számítást végzünk, feltételezzük, hogy a ponthalmazra több, egymásban folytatódó, eltérő meredekségű egyenes illeszthető.

Az eljárás abban hasonlít a csoportregresszióhoz, hogy itt is egymást metsző egyenesek közös egyenletét akarjuk felírni. Alapvetően az a cél, hogy megtudjuk, az egyenesek meredeksége mennyire tér el. Csakhogy előre meghatározzuk, k melyik értékénél, illetve értékeinél (ha kettőnél több szegmens van) kell lennie az egyenesek közös metszéspontjának úgy, hogy közben a lehető legjobban illeszkedjenek az adatok egy-egy szegmensére. Hogy célunkat elérjük, be kell csempésznünk a regressziós modellbe egy szegmentáló k értéket.

Nézzünk először egy olyan esetet, ahol több szegmentáló érték, így kettőnél több szegmens van. Ha minden szegmenst önálló egyenesként tekintünk, akkor külön-külön felírhatjuk az egyes szegmensek egyenletét. Ekkor az első szegmens egyenesének az egyenlete ${\text{b}}_{\text{0}}{\text{ + b}}_{\text{1}}{\text{ * X}}_{\text{i}}$ lesz, ahol $b_0$ az egyenes és az Y tengely metszéspontja, $b_1$ pedig az egyenes meredeksége. Ugyanígy a második szegmens egyenesének egyenlete ${\text{b}}_{\text{2}}{\text{ + b}}_{\text{3}}{\text{ * X}}_{\text{i}}$ lesz, a harmadik szegmens egyenesének egyenlete pedig ${\text{b}}_{\text{4}}{\text{ + b}}_{\text{5}}{\text{ * X}}_{\text{i}}$   és így tovább. Így van több egyenesünk van - jelen esetben három -, amelyek metszik egymást, kivéve ha ${\text{b}}_{\text{1}}{\text{ = b}}_{\text{3}}{\text{ = b}}_{\text{5}}$ , ekkor ugyanis a három egyenes párhuzamos egymással; ám ebben az esetben nem beszélhetünk szegmensekről.

Ha az egyes szegmenseket önálló egyeneseknek tekintjük, akkor a szegmentáló értékeket ezen egyenesek metszéspontjai adják. Az első és a második szegmens egyeneseinek a metszéspontja az első szegmentáló érték, nevezzük $k_1$ -nek. A $k_2$ pedig a második szegmentáló érték, amely a második és a harmadik szegmens egyeneseinek metszéspontjánál található. Mindezeket a változókat az 1.10. ábra szemlélteti. Az első szegmens tehát az első szegmentáló érték előtti rész, vagyis ha ${\text{X}}_{\text{i}}\le {\text{k}}_{\text{1}}$ , a második szegmens a két szegmentáló érték közé esik, vagyis ha ${\text{k}}_{\text{1}}{\text{ < X}}_{\text{i}}\le {\text{ k}}_{\text{2}}$ , a harmadik szegmens pedig a második szegmentáló értéken túl esik, vagyis ha ${\text{X}}_{\text{i}}{\text{ > k}}_{\text{2}}$ .

1.10. ábra. A szegmentált regressziós egyenes paraméterei és szegmentáló pontjai.

Megadtuk az egyes szegmensek egyenleteit és ezek metszéspontjait, vagyis a szegmentáló értékeket. Ezek után már csak azt kell meghatározni, mikor melyik szegmensről - vagy egyenesről - van szó, ezt pedig dummy változók segítségével tehetjük meg. Nevezzük el az első szegmens dummy változóját $d_1$ -nek, a második szegmensét $d_2$ -nek, a harmadik szegmensét pedig $d_3$ -nak. Ha ${\text{d}}_{\text{1}}\text{ = 1}$ , akkor az első szegmensről, ha ${\text{d}}_{\text{2}}\text{ = 1}$ , akkor a második szegmensről, és ha ${\text{d}}_{\text{3}}\text{ = 1}$ , akkor a harmadik szegmensről beszélünk. A három érték közül mindig pontosan egynek 1 az értéke, ez a szegmensek meghatározásából következik (a töréspontok természetesen két szegmenshez is tartoznak, hogy ezen értékeknél melyik - releváns - dummyt használjuk, az rajtunk múlik):

${\text{d}}_{\text{1}}\text{ = 1}$ , ha ${\text{X}}_{\text{i}}\le {\text{k}}_{\text{1}}$
${\text{d}}_{\text{1}}\text{ = 0}$ minden más esetben        

${\text{d}}_{\text{2}}\text{ = 1}$ , ha ${\text{k}}_{\text{1}}{\text{ < X}}_{\text{i}}\le {\text{ k}}_{\text{2}}$
${\text{d}}_{\text{2}}\text{ = 0}$ minden más esetben    

${\text{d}}_{\text{3}}\text{ = 1}$ , ha ${\text{X}}_{\text{i}}{\text{ > k}}_{\text{2}}$
${\text{d}}_{\text{3}}\text{ = 0}$ minden más esetben.

Mindezek után próbáljuk meg összeállítani a szegmentált regresszió egyenletét.

Az első szegmens egyenlete ${\text{b}}_{\text{0}}{\text{ + b}}_{\text{1}}{\text{ * X}}_{\text{i}}$ , dummy változója pedig $d_1$ , így az első egyenlete kibővítve a következő (1.19. egyenlet):

A második szegmens egyenlete ${\text{b}}_{\text{2}}{\text{ + b}}_{\text{3}}{\text{ * X}}_{\text{i}}$ , dummy változója pedig $d_2$ , így a második szakasz kibővített egyenlete (1.20. egyenlet):

A regressziós egyenlet pedig az első két szakaszra így alakul (1.21. egyenlet):

Végül a harmadik szakasz egyenlete ${\text{b}}_{\text{4}}{\text{ + b}}_{\text{5}}{\text{ * X}}_{\text{i}}$ , dummy változója pedig $d_3$ , tehát a harmadik szegmens kibővített egyenlete (1.22. egyenlet):

A három szegmenssel rendelkező regressziós egyenlet teljes alakja (1.23. egyenlet):

Ebben az egyenletben összesen hat paraméter szerepel. Eddig azonban még nem vettük figyelembe azt, hogy a szakaszok folytonosan következnek egymás után, vagyis a töréspontok két szegmenshez is tartoznak, azaz ha behelyettesítjük őket a megfelelő két szegmens egyenletébe, akkor mindkét egyenlet ugyanazt az értéket adja. Vizsgáljuk meg, az első töréspontra mindez miképpen alakul.

Az első töréspont ( $k_1$ ) az első és a második szegmenshez tartozik. Ezért ennél az értéknél a két egyenlet egyenlő egymással (1.24. egyenlet):

Kissé átrendezve és összevonva (1.25. egyenlet):

A második töréspont a második és a harmadik szegmenshez tartozik, ezért e két szegmens egyenlete $k_2$ -t behelyettesítve egyenlő egymással (1.26. egyenlet):

Kissé átrendezve és összevonva (1.27. egyenlet):

Majd $b_2$ -t behelyettesítve (1.28. egyenlet):

Az egyenletet pedig kevesebb paraméterrel a következő módon írhatjuk fel (1.29. egyenlet):

Ezzel megkaptuk a három szegmenssel rendelkező regresszió egyenletét. De ugyanezen elv alapján tetszőleges számú szegmensre felírható az egyenlet.