1.3.6 A modell érvényességének tesztelése: az F-statisztika

Többszörös lineáris regresszió esetén szeretnénk megbecsülni, hogy átlagosan milyen jól magyarázzák az $X_{1}$ ... $X_{n}$ független változók az Y függő változót. Másképp fogalmazva, jobb becslést tudunk-e adni Y-ra a függő változók ismeretében, mint anélkül? Ebből következik, hogy a hipotézisek a regressziós együtthatókra a következőképpen néznek ki:

$H_{0}$ : $β_{1}$ = $β_{2}$ = ... = $β_{p}$ = 0

$H_{1}$ : nem minden $β_{i}$ nulla

Vagyis ha van két független változó, mint az 1.2. táblázat adatai esetében, akkor a hipotézisek a következőképpen néznek ki:

$H_{0}$ : $β_{fizetes}$ = $β_{eletkor}$ = 0

$H_{1}$ : $β_{fizetes}$ vagy $β_{eletkor}$ nem nulla

Ha a $H_{0}$ hipotézis teljesül, akkor a modell semmilyen bejósló erővel nem bír. A hipotézis tesztelésére a variancia-analízis alkalmas. Az $F = \frac{m a g y a r á z o t t v a r i a n c i a}{m a g y a r á z a t l a n v a r i a n c i a}$ arány jól mutatja, hogy a minta mennyire támogatja a $H_{0}$ hipotézist. A pontos képlet a következőképpen fest:

F = \frac{\frac{R^{2}}{p}}{\frac{1 - R^{2}}{n - p - 1}}

(1.15. egyenlet)

Az R program a lineáris regresszió futtatásakor automatikusan számít F-statisztikát is. De áttekinthetőbb táblázatot kaphatunk, ha kérünk egy külön variancia-analízis számítást a lineáris regressziós modellre (1.30. R-forráskód). Az adatokat az 1.19. R-forráskód rögzítette.

modell<-lm(elegedettseg~eletkor+fizetes)
anova<-anova(modell)
print(anova, digits=3)

1.30. R-forráskód

Analysis of Variance Table

Response: elegedettseg
          Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)    
eletkor    1    153     153     237 0.00420 ** 
fizetes    1   2231    2231    3444 0.00029 ***
Residuals  2      1       1                    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

1.30. R-eredmény. Anova táblázat.

Az 1.30. R-eredmény alapján látszik, hogy a regressziós modell tartható, hiszen az F-statisztika („F-value) értéke szignifikáns (p<0,05). Ugyanezen az R-eredményen még látható az egyes variancia-forrásokhoz tartozó értékek négyzetösszege („Sum Sq”), illetve ezek átlaga („Mean Sq”).

Münnich Á., Nagy Á., Abari K. (2006). Többváltozós statisztika pszichológus hallgatók számára. v1.1.