Bizonytalanságban hozott döntési kritériumok tulajdonságai (axiómák)

Irodalom

French, S. (1986). Decision Theory: an Introduction to the Mathematics of Rationality. Ellis Horwood Ltd.: Chichester.

Jelölések, elnevezések

A döntési szabály előre nem specifikált és feltesszük, hogy létezik egy "index", ami minden (Subscript[D, i])választási lehetőséghez hozzárendel egy (Subscript[V, i]) számot. A döntési kifizetési táblázat m × n -es.

payoff={
{(Subscript[K, 11]),(Subscript[K, 12]),(Subscript[K, 13]),"...","\!\(\*SubscriptBox[\(K\), \(1\\ n\)]\)"},
{(Subscript[K, 21]),(Subscript[K, 22]),(Subscript[K, 23]),"...",(Subscript[K, 2n])},
{(Subscript[K, 31]),(Subscript[K, 32]),(Subscript[K, 33]),"...",(Subscript[K, 3n])},
{(Subscript[K, 41]),(Subscript[K, 42]),(Subscript[K, 43]),"...",(Subscript[K, 4n])},
{"...","...","...","...","..."},
{(Subscript[K, m1]),(Subscript[K, m2]),(Subscript[K, m3]),"...",(Subscript[K, mn])}};

TableForm[payoff,TableHeadings->{{"D1","D2","D3","D4","...","Dm",""},{"S1","S2","S3","...","Sn"}},TableSpacing->{2,2},TableAlignments->Right]

(Subscript[Kmax, i])=(Underoverscript[Max, (j=1), n])[(Subscript[K, ij])]

(Subscript[Kmin, i])=(Underoverscript[Min, (j=1), n])[(Subscript[K, ij])]

Maximin (Wald)				(Subscript[V, i]) = (Subscript[Kmin, i])

Optimizmus-pesszimizmus (Hurwitz)		(Subscript[V, i]) = α (Subscript[Kmin, i]) + (1-α) (Subscript[Kmax, i])

Minimax megbánás (Savage)			(Subscript[V, i]) = -(Underoverscript[Max, (j=1), n])[(Underoverscript[Max, (i=1), m])[(Subscript[K, ij])]-(Subscript[K, ij])]

Nem elégséges ok (Laplace)			(Subscript[V, i]) = (∑_(j=1)^n)(1/n)(Subscript[K, ij])

1.	Teljes rendezés

tranzitív és minden elempár összehasonlítható

	(Subscript[V, i])>(Subscript[V, j])		⟺		(Subscript[D, i])  jobb választás  (Subscript[D, j]) -nél

2.	Az elnevezésektől való függetlenség

Tegyük fel, hogy  (Subscript[D, 2]) jobb  (Subscript[D, 1]) -nél, azaz  (Subscript[V, 2]) > (Subscript[V, 1]) és legyen például:
		(Subscript[S, 1])	(Subscript[S, 2])
	(Subscript[D, 1])	11	1
	(Subscript[D, 2])	8	4

	akkor

		(Subscript[S, 1])'	(Subscript[S, 2])'
	(Subscript[D, 1])'	8	4	esetén  (Subscript[D, 1])'  jobb  (Subscript[D, 2])' -nél (azaz   (Subscript[V, 1]) > (Subscript[V, 2])) 
	(Subscript[D, 2])'	11	1

	és

		(Subscript[S, 1])''	(Subscript[S, 2])''
	(Subscript[D, 1])''	1	11	esetén  (Subscript[D, 2])'' jobb   (Subscript[D, 1])'' -nél (azaz  (Subscript[V, 2]) > (Subscript[V, 1]))
	(Subscript[D, 2])''	4	8

	Ha a kifizetési mátrix  m × n -es és π a sorok, míg τ az oszlopok egy-egy permutációja és 
	
	(Subscript[K, π(i)τ(j)]^(')) = (Subscript[K, ij])  , akkor
	
	(Subscript[V, l])>(Subscript[V, k])		⟺		(Subscript[V, π(l)]^(')) >  (Subscript[V, π(k)]^('))		l, k ∈ {1, 2, ..., m}

3.	Lineáris transzformációtól való függetlenség

(Subscript[K, ij]^('))= a (Subscript[K, ij])+ b	(a>0 és b rögzített)
		⟹	(Subscript[V, l]) > (Subscript[V, k])	⇔	(Subscript[V, l]^(')) > (Subscript[V, k]^('))	l, k ∈ {1, 2, ..., m}

4.	Dominancia (erős)

(Subscript[D, i]) és  (Subscript[D, j]) két olyan választási alternatíva úgy, hogy	(Subscript[K, ik]) > (Subscript[K, jk])	 k ∈ {1, 2, ..., n}
	 	⟹	(Subscript[V, i]) > (Subscript[V, j])

5.	Irreleváns alternatíváktól való függetlenség

K egy m×n -es, K' egy (m+1)×n -es kifizetési mátrix,

	(Subscript[K, ij]^(')) = (Subscript[K, ij])	 	i ∈ {1, 2, ..., m},  j ∈ {1, 2, ..., n},
	
	(Subscript[K, m+1 j]^('))	tetszőleges	j ∈ {1, 2, ..., n}
	
		⟹	(Subscript[V, l]) > (Subscript[V, k])	⇔	(Subscript[V, l]^(')) > (Subscript[V, k]^('))	l, k ∈ {1, 2, ..., m}

6.	Konstansnak oszlophoz való hozzáadásától való függetlenség

(Subscript[K, ih]^(')) = (Subscript[K, ih]) + c		i ∈ {1, 2, ..., m},

	(Subscript[K, ij]^(')) = (Subscript[K, ij])	j ≠ h,   j ∈ {1, 2, ..., n}, i ∈ {1, 2, ..., m}
	
		⟹	(Subscript[V, l]) > (Subscript[V, k])	⇔	(Subscript[V, l]^(')) > (Subscript[V, k]^('))	l, k ∈ {1, 2, ..., m}
		
	példa:
		(Subscript[S, 1])	(Subscript[S, 2])	(Subscript[S, 3])			(Subscript[S, 1]^('))	(Subscript[S, 2]^('))	(Subscript[S, 3]^('))
	(Subscript[D, 1])	5	3	7		(Subscript[D, 1]^('))	5+10	3	7
	(Subscript[D, 2])	4	7	6		(Subscript[D, 2]^('))	4+10	7	6
	
		⟹	(Subscript[V, 1]) > (Subscript[V, 2])	⇔	(Subscript[V, 1]^(')) > (Subscript[V, 2]^('))

7.	Sorok permutációjától való függetlenség

(Subscript[D, l]) és  (Subscript[D, k]) két olyan választási alternatíva és π egy permutációja az {1, 2, ..., n} számoknak úgy, hogy

	(Subscript[K, lj]) = (Subscript[K, kπ(j)])	j ∈ {1, 2, ..., n}	⟹	(Subscript[V, l]) = (Subscript[V, k])
	
	példa:		
		(Subscript[S, 1])	(Subscript[S, 2])	(Subscript[S, 3])	(Subscript[S, 4])
	(Subscript[D, 1])	11	1	4	7		⟹	(Subscript[V, 1]) = (Subscript[V, 2])
	(Subscript[D, 2])	7	4	11	1

8.	Oszlopok duplikálásától való függetlenség

K egy m×n -es, K' egy m×(n+1) -es kifizetési mátrix,

	(Subscript[K, ij]^(')) = (Subscript[K, ij])	i ∈ {1, 2, ..., m},  j ∈ {1, 2, ..., n},

	(Subscript[K, i(n+1)]^(')) = (Subscript[K, in])	i ∈ {1, 2, ..., m}
	
	⟹	(Subscript[V, l]) > (Subscript[V, k])	⇔	(Subscript[V, l]^(')) > (Subscript[V, k]^('))	l, k ∈ {1, 2, ..., m}
	
	példa:
		(Subscript[S, 1])	(Subscript[S, 2])			(Subscript[S, 1]^('))	(Subscript[S, 2]^('))	(Subscript[S, 3]^('))
	(Subscript[D, 1])	5	3		(Subscript[D, 1]^('))	5	3	3
	(Subscript[D, 2])	4	7		(Subscript[D, 2]^('))	4	7	7
	
		⟹	(Subscript[V, 1]) > (Subscript[V, 2])	⇔	(Subscript[V, 1]^(')) > (Subscript[V, 2]^('))
	
	következmény:
	i.	Az utolsó oszlopot akányhányszor duplikálva a választási indexek egymáshoz 
		viszonyított sorrendje nem változik.
		
		példa:
			(Subscript[S, 1])	(Subscript[S, 2])			(Subscript[S, 1]^('))	(Subscript[S, 2]^('))	(Subscript[S, 3]^('))	(Subscript[S, 4]^('))
		(Subscript[D, 1])	5	3		(Subscript[D, 1]^('))	5	3	3	3
		(Subscript[D, 2])	4	7		(Subscript[D, 2]^('))	4	7	7	7
	
			⟹	(Subscript[V, 1]) > (Subscript[V, 2])	⇔	(Subscript[V, 1]^(')) > (Subscript[V, 2]^('))
		
	ii.	Hozzávéve a 2. tulajdonságot (elnevezésektől való függetlenség), akkor bármely
		oszlop duplikálása nem változtatja meg a választási index sorrendiségét.
		
		példa:
			(Subscript[S, 1])	(Subscript[S, 2])	(Subscript[S, 3])			(Subscript[S, 1]^('))	(Subscript[S, 2]^('))	(Subscript[S, 3]^('))	(Subscript[S, 4]^('))
		(Subscript[D, 1])	5	3	2		(Subscript[D, 1]^('))	5	3	2	5
		(Subscript[D, 2])	4	7	3		(Subscript[D, 2]^('))	4	7	3	4
	
			⟹	(Subscript[V, 1]) > (Subscript[V, 2])	⇔	(Subscript[V, 1]^(')) > (Subscript[V, 2]^('))

A tulajdonságok összefoglaló táblázata

tulajdonságok		Wald		Hurwicz	Savage		Laplace

1.	teljes rendezés		igaz		igaz		igaz		igaz
2.	elnevezés fgtl.		igaz		igaz		igaz		igaz
3.	lineáris tr. fgtl.		igaz		igaz		igaz		igaz
4.	dominancia		igaz		igaz		igaz		igaz
5.	irreleváns fgtl.		igaz		igaz		hamis		igaz
6.	konstans+ fgtl.		hamis		hamis		igaz		igaz
7.	sorok perm. fgtl.	igaz		igaz		hamis		igaz
8.	oszlop dupl. fgtl.	igaz		igaz		igaz		hamis